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Statistik I — bis jetzt
K 1 Einf ¨
K 2 Beschreibende Statistik
K 3 Graphiken
K 4 Sch ¨atzen
K 5 Testen
K5 Statistische Tests
Beispiel: Exemestane und Brustkrebs
Tamoxifen ¨uber 5 Jahre ist f ¨ur gewisse Frauen mit Brustkrebseine Standardbehandlung. Wissenschaftler haben eineneue Behandlung vorgeschlagen:2 bis 3 Jahre Tamoxifen und danach Exemestane.
In einer Doppelblindstudie von Coombes et al sind fol-gende Resultate berichtet worden (NEJM 350(11) 1081-92).
4742 Patientinnen insgesamt2362 bekamen nach 2 bis 3 Jahren Exemestane2380 bekamen noch Tamoxifen Zeigen diese Resultate, dass die Behandlung mitExemestane besser ist? 5.1 Statistische Tests im allgemeinen
z.B. Hilft Vitamin C gegen Erk ¨altungen? Ist der neue Ferrari schneller als der alte? Sind finnische Sch ¨uler besser als deutsche? • Warum werden statistische Tests durchgef ¨uhrt? • Wann werden statistische Tests durchgef ¨uhrt? • Wie werden statistische Tests durchgef ¨uhrt? • Wer f ¨uhrt statistische Tests durch? • Welche Folgen haben statistische Tests? Terminologie f ¨
ur Test-Theorie
Teststatistik (Pr ¨ufgr ¨oße)Verteilung der Teststatistik Testniveau αAnnahmebereich/AblehnungsbereichEntscheidungsregel (kritischer Wert) G ¨utefunktion (beim Test eines Parameters)g(θ) = P (H0 verwerfen |θ der wahre Parameter) Statistische Testprozeduren
Studie entwerfen
Daten holen
Daten organisieren
H ¨aufigkeitstabellen, Histogramme usw.
Resultate zusammenfassen
Teststatistik mit erwarteten Werten vergleichen
Signifikanz der Teststatistik
PH (Teststatistik > beobachtete Wert der Statistik) (Im allgemeinen sucht man die Wahrscheinlichkeit des Wer-tebereichs, worin alle Werte eine kleinere Wahrschein-lichkeit als der beobachtete Wert haben.) Traditionelle Deutung(nach Fisher nur als Richtlinie, aber . . . ): p-Wert > 0.05 ⇒ H0 sollte nicht verworfen werden p-Wert < 0.05 ⇒ H0 kann vielleicht verworfen werden p-Wert < 0.01 ⇒ H0 kann verworfen werden Vieles h ¨angt von den nachfolgenden Wirkungen ab, wieman p-Werte interpretiert.
z.B.
5.2 Binomial Test (eine Stichprobe)
Nullhypothese
Teststatistik
Verteilung unter H0
Annahmebereich
Ablehnungsbereich
Typ I Fehler (Test-Niveau)
Das Test-Niveau wird f ¨ur einen diskreten Test selten genau α sein. Eine M ¨oglichkeit ist ein randomisierter Test: falls R = a oder R = b, akzeptiert man H0 mit Wahrschein-lichkeiten, die so gew ¨ahlt sind, dass das Test-Niveau = α.
Das wird mathematisch genau sein, ist aber in der Praxis Alternativhypothese
Typ II Fehler
utefunktion
Binomial Test Beispiel
Außersinnliche Wahrnehmung
Farbe einer Karte erraten
(cf. u.a. Jung und Pauli)
Nullhypothese
Teststatistik
Verteilung unter H0
Annahmebereich
Ablehnungsbereich
Typ I Fehler (Test-Niveau)
p-Wert von R = 5
Alternativhypothese
Typ II Fehler
utefunktion
Binomial Test (zwei Stichproben)
Nullhypothese
Teststatistik
Verteilung unter H0
E[T ] = 0, V [T ] = p(1 − p)(1/n1 + 1/n2) Annahmebereich
Ablehnungsbereich
Typ I Fehler (Test-Niveau)
Alternativhypothese
Typ II Fehler
utefunktion
Oder wir nehmen an, dass n1, n2 groß genung sind, dassdie Normalapproximation gilt. Dann haben wir: X/n1 ∼ N (p, p(1−p)/n1) und Y /n2 ∼ N (p, p(1−p)/n2) ⇒ T = X/n1 − Y /n2 ∼ N(0, p(1 − p)(1/n1 + 1/n2))

Source: http://stats.math.uni-augsburg.de/lehre/SS06/StatI/S1w7v2.pdf