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Facteurs de forme et technique projective, sans Resume : Dans cet article nous presentons une methode projective, dans le cadre de la radiosite, qui simplie le calcul des facteurs de forme, en calculant les contours d'ombres projetees. Les ombres sont delimitees par un polygone d'occlusion qui nous permet d'identier les parties visibles et cachees des objets. Nous pouvons alors calculer analytiquement le facteur de forme pour chaque Mots-cles : projection, radiosite, facteur de forme 1 IntroductionLe modele de radiosite permet de simuler les echanges energetiques entre objets d'un m^eme en- vironnement. La qualite de la simulation depend du calcul des facteurs de forme et des zones Plusieurs methodes, appelees projectives, permettent d'estimer les facteurs de forme. A cette n, elles utilisent une surface de projection simple (par exemple un plan [3] [1], ou un hemisphere [5] [2]) discretisee en pixels. Le facteur de forme entre l'objet emetteur et un objet recepteur est alors approche par la somme des facteurs de forme des pixels couverts par la projection de sur la surface de projection placee sur .
Ces methodes ont pour point commun de discretiser la surface de projection. Ceci induit des problemes d'echantillonnage qui peuvent nuire au calcul exact des facteurs de forme, et des contours Nous presentons dans cet article une nouvelle methode projective, qui utilise un hemisphere pour surface de projection, mais le n'echantillonne pas. Dans la section 2 nous rappelons le systeme d'equations du modele de radiosite. Dans la section suivante nous decrivons le calcul des facteurs de forme et les dierentes methodes projectives existantes. Enn nous presentons notre approche, puis quelques reexions sur ses avantages et inconvenients.
2 Le modele de radiositeLa methode de radiosite subdivise l'environnement, aussi appele scene, ou les echanges energetiques vont ^etre simules. Une scene est un ensemble d'objets, et chaque objet est deni par un ensemble de surfaces, appelees elements. La subdivision de la scene, donc des surfaces des objets, produit un systeme d'equations qui modelise les echanges energetiques entre elements, i.e. les multiples inter-reexions diuses et emissions entre elements. Sa resolution permet de calculer la radiosite Le modele de radiosite est decrit par le systeme d'equations: : emittance propre par auto-emission de la surface .
: coecient de reexion dius de la surface .
: facteur de forme geometrique entre les surface ) est la fonction de visibilite, qui vaut 1 si est visible de , 0 sinon.
Pour resoudre ce systeme nous devons pouvoir calculer les facteurs de forme 3 Les facteurs de formeDans cette section, nous presentons la denition du facteur de forme, puis nous rappelons plusieurs methodes numeriques permettant de le calculer. Enn nous discutons les problemes poses par 3.1 Calcul des facteurs de formeLe facteur de forme entre deux surfaces est un terme purement geometrique qui ne depend que des formes et des positions respectives des deux surfaces. Soient deux surfaces et (Fig.1), represente la proportion de ux emis par qui arrive sur et s'exprime Figure 1: geometrie du facteur de forme Lorsqu'il n'y a pas d'objets susceptibles de s'interposer entre les deux surfaces et , ces facteurs de forme peuvent ^etre calcules analytiquement. Mais des que des occlusions apparaissent, la ) rend tout calcul exact de la double integrale tres co^uteux. Plusieurs methodes ont ete proposees an d'en obtenir une valeur approchee. Toutes reposent sur deux simplications. La premiere est basee sur la reduction de l'integrale double a une integrale simple, et la seconde sur la projection des objets sur une forme simple pour laquelle les facteurs de forme 3.1.1 D'une integrale double a une integrale simpleAn de simplier le calcul du facteur de forme entre deux carreaux l'hypothese suivante: le decoupage en carreaux est susamment n pour que la distance entre ces deux carreaux soit grande, comparee a leur taille. Pour un carreau susamment petit, le fac- entre et peut ^etre approche par le facteur de forme point , centre du carreau . En eet le terme peut ^etre considere comme constant en tout point de , si est susamment petit et eloigne de . La formulation du facteur de forme devient alors: 3.1.2 Projections identiquesLa deuxieme simplication du calcul des facteurs de forme repose sur la constatation suivante: le facteur de forme entre une petite surface autour du point et la surface est egal au facteur choisir une surface a geometrie simple de preference, qui recouvre le demi-espace visible depuis le point .Idecouper cette surface en petites surfaces appelees pixels.
determiner l'ensemble des pixels a travers lesquels la surface est visible depuis le point 3.2 Etat de lartNous rappelons rapidement les methodes projectives existantes. Toutes utilisent une surface de Hemicube. Cette methode presentee par Cohen et Greenberg [1] utilise comme surface de projection un demi-cube appele hemicube (Fig. 3).
Plan de projection. [3] propose d'utiliser un plan comme surface unique de projection, en s'arrangeant pour que l'energie negligee (qui arrive ou part de la surface de maniere presque tangente) soit quasi-nulle. Les quatre c^otes de l'hemicube sont alors supprimes, seule sa partie superieure est conservee (Fig.4).
Hemisphere de Spencer. [5] utilise une autre surface de projection: l'hemisphere. De m^eme que pour la technique du plan, mais sans negliger aucune energie, une seule projection est necessaire. Spencer propose deux methodes de discretisation (Fig.5): { la discretisation en facteurs de formeelementaires est eectuee directement sur l'hemisphere et de telle sorte qu'on obtient des pixels d'angles solides egaux.
{ la base de l'hemisphere est discretisee uniformement en pixels. La projection d'un objet sur l'hemisphere est projetee de nouveau sur la base.
Figure 5: Hemisphere discretisee de Spencer Hemisphere de Languenou. Languenou [2] propose de calculer les facteurs de forme en utilisant un hemisphere discretise en pixels. Les parties cachees sont eliminees par lancer de rayon. Les rayons sont lances depuis le centre de l'hemisphere et passent par le centre de Figure 6: Hemisphere discretise de Languenou 3.3 DiscussionLes dierentes methodes presentees ci-dessus utilisent toutes une discretisation de la surface de projection. La question importante est de savoir comment echantillonner cette surface. En eet si l'echantillonnage est inadapte plusieurs problemes apparaissent, par exemple la fonction de radiosite est mal calculee, ou bien nous obtenons des artefacts. La prochaine section presente une nouvelle methode qui reste projective mais supprime l'echantillonnage de la surface de projection.
4 Notre approcheNotre objectif est de calculer exactement, par une methode projective, et en tenant compte des entre un point emetteur et une surface receptrice sans discre- tiser la surface de projection. Pour ce faire nous calculons un polygone d'occlusion pour chaque objet. Ce polygone delimite les parties de l'objet qui sont visibles ou cachees de l'emetteur, suite aux occlusions causees par les objets places entre lui et l'emetteur.
Schematiquement, l'algorithme que nous utilisons pour la resolution du systeme d'equations (E.1) 1. Choix d'un emetteur. Nous placons un hemisphere au centre de l'emetteur.
2. Projection des objets sur l'hemisphere, avec gestion des occlusions. Ce point est presente en 3. Calcul des facteurs de forme entre l'emetteur et les parties visibles. Ce point est detaille en 4. Application de l'equation de radiosite.
Nous presentons maintenant notre technique de projection: les structures de donnees pour notre implementation, les calculs d'intersections pour la gestion des occlusions, la construction du poly- gone d'occlusion, et enn l'expression analytique utilisee pour le calcul des facteurs de forme.
4.1 Description des structures de donnees pour la projection sur lhemisphereProjection est la structure de donnee associee a chaque primitive, lors de la projection sur l'hemisphere.
Elle stocke la primitive objet associee, la derniere primitive intersectee, et les arcs denissant ses *primOcclusion; /* derniere primitive testee pour l'intersection */ segmentsOcclusion; /* liste des segments du contour d'ombre */ Arc est la structure de base pour la gestion des occlusions. Elle denit l'arc par son sommet de depart vOA (avec O le centre de l'hemisphere Fig.7), son vecteur directeur vAB, et les parametres utiles pour le calcul rapide des intersections entre deux arcs:STRUCT(Arc){ vOAxAB; /* vOAxAB: produit vectoriel OA^AB */ La liste segmentsOcclusion de chaque Projection stocke les segments des contours d'ombre interieurs a la primitive (Fig.8). Nous appelons contours d'ombre le contour d'une ombre projetee. Initiale- ment, la liste segmentsOcclusion est vide puisque nous supposons que chaque nouvelle primitive projetee sur l'hemisphere est visible.
Dans notre exemple (Fig.9), les objets projetes sont des triangles. Pour savoir si le triangle A est devant ou derriere l'autre triangle B, il sut de repondre a une question du type: le sommet S du triangle B est-il devant ou derriere le triangle A? S'il est derriere nous obtenons le cas 1, sinon le cas 2. Nous evitons le cas 3 car nous supposons que les objets ne s'interpenetrent pas. Les cas 4, 5, et 6, sont testes si aucune intersection entre les deux triangles A et B n'est detectee.
La gestion des occlusions repose sur le calcul des intersections entre la nouvelle primitive projetee et les primitives deja projetees sur l'hemisphere. Nous avons vu dans les structures de donnees que chaque Projection est denie par sa liste arcsObjet dans le repere de l'hemisphere. Pour calculer les occlusions entre deux objets et , nous cherchons les points d'intersection pour chaque couple maintenant les calculs utiles eectues sur un arc.
4.3 Calcul de lintersection entre deux arcsLes calculs d'intersection s'eectuent toujours sur un couple d'arcs: de sommets ( ), projetes sur l'hemisphere. Pour chaque arc nous cherchons l'abscisse curviligne du point d'intersection, s'il existe. Nous ecrivons que intersecte ssi: Nous rappelons tout d'abord la relation vectorielle suivante: Nous construisons maintenant deux vecteurs et :0 Ainsi, pour intersecter deux arcs, nous construisons deux vecteurs et , qui sont les normales respectives aux plans (OAB) et (OA'B'). Ces vecteurs sont precalcules et stockes pour chaque Arc. La methode d'intersection arcIntersect() calcule le couple ( ), en veriant que est bien strictement positif. Si lors du calcul d' , ou de , le denominateur est nul, alors le point d'intersection n'existe pas.
Figure 10: Occlusions apres projection de sur Figure 11: Mise a jour de la liste d'occlusions Apres avoir calcule les abscisses curvilignes des points d'intersection, nous construisons le polygone d'occlusion, reliant les sommets du contour d'occlusion dans le plan de la primitive ombree (Fig.10).
Puis nous mettons a jour ce polygone avec le polygone d'occlusion deja existant pour l'objet (Fig.11) Ainsi, pour chaque primitive, nous pouvons determiner les elements du maillage qui sont visibles Nous terminons cette section en presentant la technique employee pour determiner ce que nous avons appele le facteur de forme associe a un arc, et qui sert a calculer analytiquement le facteur de forme des elements visibles du maillage, pour chaque primitive projetee sur l'hemisphere.
4.4 Expression theorique du facteur de forme dun arcApres avoir calcule les polygones d'occlusion, pour chaque objet projete sur l'hemisphere, nous cherchons a calculer le facteur de forme entre le point emetteur et les parties visibles des surfaces receptrices. Pour realiser ce calcul, nous introduisons a present la notion de facteur de forme d'un , en hachure sur Fig.12, divisee par .
Cette surface est constituee des deux segments [ ] sur l'hemisphere) - connu par ses equations ( ) et ( ), les abscisse et ordonnee curvilignes du point projete sur l'hemisphere puis sur la base -.
d'abord ( ), ( ), ( ) la norme de ( ). Nous avons: et ( ) = arctan x() donc d() = y()x () x()y (). Apres simplica- Si (O,A,B) sont alignes, ou si le plan (OAB) est perpendiculaire au plan de base de l'hemisphere, nous avons alors = 0 ( est la composante sur z de depend du sens de rotation (ie. direct ou indirect) pour aller de a . Pour calculer le facteur de forme d'une surface visible connue par l'ensemble le facteur de forme de l'arc denit par les deux sommets d'indice et . Nous avons 5 Avantages, inconvenientsLa methode presentee dans cet article possede deux avantages: Projection nette des ombres: La technique projective calcule exactement les ombres portees, en utilisant la methode d'intersection pour chaque couple d'arcs. Ainsi, pour chaque objet, nous creons un polygone d'occlusion identiant ses parties cachees ou visibles du point emetteur. Ce polygone peut alors servir a creer le maillage de visibilite des objets, sur un Calcul exact des facteurs de forme: Le polygone d'occlusion nous renseigne aussi sur les valeurs de la fonction de visibilite, ce qui nous permet de calculer analytiquement le facteur de forme entre le point emetteur et les polygones visibles recepteurs avec la methode de sommation des facteurs de forme d'arcs.
Pourtant la technique projective ne permet pas a priori de prendre en compte les milieux semi- transparents. Les rayons ne se propagent plus uniquement en ligne droite, et donc le calcul des contours d'ombre par notre methode n'est plus valide.
Cependant, la methode est ameliorable. Le point essentiel est la prise en compte du maillage de discontinuite, qui calcule les zones de penombre. Ces zones, qui ne sont pas calculees par notre methode, engendrent des discontinuites dans la fonction de radiosite et sont facilement detectees par l'oeil humain. Cette prise en compte s'impose donc pour obtenir des images de meilleure 6 ConclusionLa methode que nous proposons dans ce rapport est une nouvelle technique projective. Elle prend en compte les contours d'ombre et permet un calcul plus precis des facteurs de forme, et donc des echanges energetiques. Les deux parametres fournis par l'utilisateur (profondeur maximale de maillage et critere de gradient d'iso-emittance) susent pour mailler a la precision souhaitee, et au mieux, les objets presents dans la scene. L'algorithme de maillage base sur les iso-emittance gere indieremment tous les modeles d'echanges energetiques, si leurs courbes d'iso-emittance sont Comme precise a la section precedente, nous pouvons certainement obtenir un rendu encore plus realiste en utilisant le maillage de discontinuite ([4]). Cette technique, associee a un calcul des iso- emittance tenant compte des normales aux sommets, permettrait d'obtenir des images de bonne References[1] M. Cohen & D. Greenberg. The hemi-cube, a radiosity solution for complex environments.
[2] E. Languenou. Radiosite hierarchique et transferts radiatif dans les milieux semi-transparents.
PhD thesis, Universite Rennes 1, 1994.
[3] F. Sillion & C. Puech. A general 2 pass method integrating specular and diuse reectio.
Computer graphics, 23(3):335{344, July 1989.
[4] Mikael Sauvee. Maillage de discontinuite pour modele de radiosite. Technical report, IRISA, [5] S. Spencer. The hemisphere radiosity methode: a tale of two algorithms. Photorealism in Computer graphics, pages 127{135, 1992.

Source: http://www-lil.univ-littoral.fr/~renaud/AFIG/RENCONTRES/ACTES/ACTES95/BELLIS.PDF